РЕШУ ЦТ — математика

Варианты заданий

1.  Задание № 2133 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2023

Сложность: V

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.8\. Куб

Разные задачи

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точка K лежит на ребре AB куба так, что AK : KB  =  2 : 1. Найдите значение выражения $дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби ,$ где φ  — угол между прямыми A₁K и B₁D₁.

Решение. Пусть ребро куба равно 1. Введем декартовую систему координат с центром в точке B. Имеем: $A_1 левая круглая скобка 1; 0; 1 правая круглая скобка ,$ $K левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0; 0 правая круглая скобка ,$ $B_1 левая круглая скобка 0; 0; 1 правая круглая скобка ,$ $D_1 левая круглая скобка 1; 1; 1 правая круглая скобка .$ Найдем координаты вектора $\overrightarrowA_1K:$

$\overrightarrowA_1K = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 1; 0 минус 0; 0 минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0; минус 1 правая круглая скобка .$

Найдем координаты вектора $\overrightarrowB_1D_1:$

$\overrightarrowB_1D_1 = левая круглая скобка 1 минус 0; 1 минус 0; 1 минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1; 1; 0 правая круглая скобка .$

Найдем косинус угла между векторами $\overrightarrowA_1K$ и $\overrightarrowB_1D_1:$

$косинус фи = дробь: числитель: \overrightarrowA_1K умножить на \overrightarrowB_1D, знаменатель: |\overrightarrowA_1K| умножить на |\overrightarrowB_1D_1| конец дроби = дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1 плюс 0 умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 0 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 13, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента умножить на корень из 2 конец дроби = минус дробь: числитель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби .$ $косинус фи = дробь: числитель: \overrightarrowA_1K умножить на \overrightarrowB_1D, знаменатель: |\overrightarrowA_1K| умножить на |\overrightarrowB_1D_1| конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1 плюс 0 умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 0 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 13, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента умножить на корень из 2 конец дроби = минус дробь: числитель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби .$

Найдем значение выражения $дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби :$

$дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 13 конец дроби конец дроби = 12 умножить на дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби = 78.$

Ответ: 78.

Ответ: 78

2133

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2023

Сложность: V

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.8\. Куб

2.  Задание № 2163 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2023

Сложность: V

Разные задачи

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точка K лежит на ребре AD куба так, что AK : KD  =  1 : 4. Найдите значение выражения $дробь: числитель: 16, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби ,$ где φ  — угол между прямыми D₁K и A₁C₁.

Решение. Пусть ребро куба равно 1. Введем декартову систему координат с началом координат в точке B. Имеем: $D_1 левая круглая скобка 1; 1; 1 правая круглая скобка ,$ $K левая круглая скобка 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби ; 0 правая круглая скобка ,$ $A_1 левая круглая скобка 1; 0; 1 правая круглая скобка ,$ $C_1 левая круглая скобка 0; 1; 1 правая круглая скобка .$ Найдем координаты вектора $\overrightarrowD_1K:$

$\overrightarrowD_1K = левая фигурная скобка 1 минус 1; дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби минус 1; 0 минус 1 правая фигурная скобка = левая фигурная скобка 0; минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби ; минус 1 правая фигурная скобка .$

Найдем координаты вектора $\overrightarrowA_1C_1:$

$\overrightarrowA_1C_1 = левая фигурная скобка 0 минус 1; 1 минус 0; 1 минус 1 правая фигурная скобка = левая фигурная скобка минус 1; 1; 0 правая фигурная скобка .$

Найдем косинус углы между прямыми D₁K и A₁C₁:

$косинус фи = дробь: числитель: | \overrightarrowD_1K умножить на \overrightarrowA_1C_1|, знаменатель: | \overrightarrowD_1K| умножить на | \overrightarrowA_1C_1| конец дроби = дробь: числитель: 0 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из: начало аргумента: 0 в квадрате плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 41 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби умножить на корень из 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 82 конец аргумента конец дроби = минус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 82 конец аргумента , знаменатель: 41 конец дроби .$ $косинус фи = дробь: числитель: | \overrightarrowD_1K умножить на \overrightarrowA_1C_1|, знаменатель: | \overrightarrowD_1K| умножить на | \overrightarrowA_1C_1| конец дроби =$
$= дробь: числитель: 0 умножить на левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из: начало аргумента: 0 в квадрате плюс левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= минус дробь: числитель: дробь: числитель: 4, знаменатель: 5 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 41 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби умножить на корень из 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: корень из: начало аргумента: 82 конец аргумента конец дроби = минус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 82 конец аргумента , знаменатель: 41 конец дроби .$

Найдем значение выражения $дробь: числитель: 16, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби :$

$дробь: числитель: 16, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 82 конец аргумента , знаменатель: 41 конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 16, знаменатель: дробь: числитель: 8, знаменатель: 41 конец дроби конец дроби = 82.$

Ответ: 82.

Ответ: 82

2163

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2023

Сложность: V

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2133	78
2	2163	82